Задачи
Задача 1
Докажите, что через точку А, не лежащую в плоскости 
, проходит плоскость, параллельная плоскости , и притом только одна.
Дано:
Доказать: существует единственная плоскость 
:
Доказательство:
1) В плоскости проведем две пересекающиеся прямые а и b, 
2) Через точку А проведем прямую
3) Через две пересекающиеся прямые 
и 
проходит единственная плоскость β (рис. 6). Эта плоскость – искомая, так как она проходит через точку А и она параллельна плоскости по признаку параллельности двух плоскостей.
Рис. 6.
4) Любая другая плоскость 
, которая проходит через точку А параллельно , обязательно пересечет плоскость β (рис. 7), а значит, и параллельную ей плоскость , что невозможно. Итак, утверждение доказано.
Рис. 7.
Опорный факт
Пусть мы имеем две скрещивающиеся прямые а и b. Мы знаем, что через них можно провести пару параллельных плоскостей и β.
Рис. 8.
Возьмем любую прямую АВ,
На прямой AB возьмем любую точку N, которая не лежит в плоскости и (рис. 8). Через две скрещивающиеся прямые а и b и точку N проходит единственная тройка параллельных плоскостей
Почему это можно сделать? Почему такую тройку можно провести?
Во-первых, плоскости и мы уже провели, а только что мы доказали, что через точку N можно провести единственную плоскость 
, параллельную плоскости , а значит, и плоскости .
Итак, двум скрещивающимся прямым и точке N соответствует единственная тройка параллельных плоскостей.
Задача 2
Докажите, что в сечении тетраэдра АВСD плоскостью параллельной противолежащим ребрам АВ и СD, лежит параллелограмм.
Доказательство:
Прямая АВ лежит в плоскости АВС. Прямая DС пересекает эту плоскость в точке С, которая не лежит на прямой АВ. Прямые АВ и СD скрещиваются по признаку скрещивающихся прямых.
Скрещивающимся прямым AB и CD соответствует пара параллельных плоскостей и
Рис. 9.
Пусть точка N принадлежит прямой АС и плоскость – это секущая плоскость.
Через скрещивающиеся прямые AB и CD и точку N проведем тройку параллельных плоскостей
Тогда параллельные плоскости и рассекают плоскость ADC по параллельным прямым. Значит, КN || DС. Параллельные плоскости и также рассекают плоскость CBD по параллельным прямым. Значит, LM || DС.
Делаем вывод: КN || LM, потому что каждая из них параллельна DС.
Аналогично доказываем, что МN || АВ; КL || АВ, а значит, МN || КL.
В сечении имеем четырехугольник MNKL, противоположные стороны которого попарно параллельны. Значит, в четырехугольник MNKL - параллелограмм.
Заметим, что угол между прямыми LM и LК равен углу между скрещивающимися прямыми АВ и DС.
Задача 3
Дан тетраэдр, все ребра которого равны. Докажите, что периметры фигур, которые получаются при пересечении этого тетраэдра плоскостями, параллельными двум противоположным ребрам, равны.
Решение.
Предположим, что мы имеем скрещивающиеся ребра АD и ВС, и точку М, 
(рис. 10). Через точку М проведем плоскость, параллельную этим двум скрещивающимся прямым. Только что мы доказали, что в сечении получим параллелограмм.
Пусть х и у – длины сторон этого параллелограмма.
Пусть длина ребра тетраэдра равна а.
Заметим, что треугольник АВD и все остальные треугольники, лежащие в гранях тетраэдра, правильные, потому что все ребра равны a. Тогда все углы этих треугольников равны 60°.
Так как МN || АD, то треугольник ВМN тоже правильный. МN = х, значит, ВN = х, NК = у, значит ND= у.
Найдем сумму х + у = NВ+ ND=а.
Найдем периметр сечения: РKLMN= 2(х+у)=2a=const.
Заметим, что периметр сечения не зависит от выбора точки М на ребре АВ.
