Пирамида. Сечения.
Мы построим несколько сечений треугольной пирамиды, будем при этом использовать метод следов. Сначала мы рассмотрим самые простые случаи: когда точки, через которые должно пройти сечение, принадлежат ребрам пирамиды. Потом – случаи сложнее, когда одна или две из точек плоскости сечения принадлежат граням пирамиды. Поехали!
Задача 1. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.
Сначала надо попробовать отыскать такие точки, которые принадлежат одной плоскости. У нас это точки P и Q – они принадлежат грани ASC, а также пара P и R – они принадлежат грани ABC. Их можно сразу соединять:
Шаг 1
Теперь, чтобы понять, как плоскость рассечет грань SBC, нужно заполучить точку в этой грани, или в плоскости, которой принадлежит грань. Но нужна нам не любая, а особенная точка, которая также будет принадлежать и плоскости сечения. Чтобы точка принадлежала плоскости нужно, чтобы она принадлежала прямой этой плоскости. Заметим, что прямая PR лежит в плоскости основания и принадлежит искомому сечению. Прямая CB тоже лежит в плоскости основания, но не только. Она еще лежит в плоскости грани SBC, где нам необходима точка, чтобы построить сечение. Воспользуемся случаем: найдем точку, где прямые PR и CB пересекутся. Такая точка принадлежит сечению, а также плоскостям боковой (SBC) и нижней (ABC) граней пирамиды.
Шаг 2
Так как построенная точка T и точка Q лежат в одной плоскости, то можем соединить их прямой:
Шаг 3
Эта прямая пересечет ребро SB в точке F – это и есть еще одна нужная нам точка для построения сечения. Соединяем R и F – они лежат в одной плоскости (SAB). Теперь смотрим: можно ли пройти по линиям сечения, принадлежащим граням пирамиды, от точки P и снова попасть в нее непрерывным маршрутом? Если да, то построение окончено. У нас такой маршрут замкнутый: P-Q-F-R-P. Это и есть сечение.
Шаг 4
Задача 2. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.
Видим, что точки R и Q принадлежат одной грани пирамиды – SCB – и соединяем их.
Шаг 1
Можно, конечно, было бы сразу и точки P и Q соединить – они тоже лежат в одной плоскости – плоскости грани SAB. Но это успеется, пока что нам нужна точка в плоскости грани SAC, да такая, чтобы принадлежала и сечению. Поэтому она должна принадлежать прямой искомого сечения, и прямой, принадлежащей плоскости SAB, то есть быть пересечением таких прямых. Продлим SC до пересечения с прямой QR -и получим такую точку.
Шаг 2
Точка X и точка P принадлежат одной плоскости, можем их соединить и получить точку пересечения данной прямой с ребром AC:
Шаг 3
Соединяем E с R, P с Q, и получаем сечение.
Шаг 4
Задача 3. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.
Теперь, уже имея опыт, первый шаг выполняем без проблем:
Шаг 1
Понимаем, что нет точки в задней грани. Вернее, одна есть – P – но второй не хватает. Аналогично, есть одна точка в нижней грани – в плоскости основания, а второй точки нет. Определим такую точку: пересечем AC и PQ. Обе прямые лежат в плоскости SAC, PQ принадлежит плоскости сечения, поэтому их пересечение будет принадлежать обеим плоскостям:
Шаг 2
Теперь имеем две точки в плоскости основания – U и R, и можем смело соединять их:
Шаг 3
Прямая UR пересечет ребро AB в точке Z. Теперь маршрут Q-R-Z-P-Q замкнут, можем достраивать сечение:
Шаг 4
Задача 4. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R, причем точка P принадлежит грани ASC.
Тут уже задача сложнее. Но пока метод следов позволяет ее решить.
Имеем две точки в одной плоскости – Q и R, и можем их сразу же соединять. AS так же, как и QR, принадлежит плоскости задней грани, поэтому продолжение AS пересечет QR в точке L, также принадлежащей плоскости задней грани.
Шаг 1
Но, так как AS принадлежит также и плоскости боковой грани SAC, то точка L лежит с точкой P в одной плоскости и их можно соединять:
Шаг 2
LP пересечет ребро AC в точке M, а ребро SC – в точке N, и можно восстанавливать четырехугольник сечения:
Шаг 3
