Определение
Пирамида – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник, который состоит из основания и боковых граней (с общей вершиной), количество которых зависит от количества углов основания.
Для рисунка выше:
- Основание (четырехугольник ABCD)– грань фигуры, являющая многогранником. Ей не принадлежит вершина.
- Вершина пирамиды (точка E)– общая точка всех боковых граней.
- Боковые грани– треугольники, которые сходятся в вершине. В нашем случае это: AEB, AED, BEC и CED.
- Боковые ребра– стороны боковых граней, за исключением тех, которые принадлежат основанию. Т.е. это AE, BE, CE и DE.
- Высота пирамиды (EF или h) – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание.
- Высота боковой грани (EM)– высота треугольника, являющегося боковой гранью фигуры. В правильной пирамиде называются апофемой.
- Площадь поверхности пирамиды– площадь основания и всех ее боковых граней.
- Развёртка пирамиды– фигура, полученная при “разрезе” пирамиды, т.е. при совмещении всех ее граней в плоскости одной из них. Для правильной четырехугольной пирамиды развертка в плоскости основания выглядит следующим образом.
Свойства пирамиды
Пирамида с равным боковыми ребрами
Свойство 1
Все углы между боковыми ребрами и основанием пирамиды равны.
Свойство 2
Вокруг основания пирамиды можно описать окружность, центр которой будет совпадать с проекцией вершины на ее основание.
- Точка F– проекция вершины E на основание ABCD; одновременно является центром этого основания.
- R– радиус описанной окружности.
Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одинаковым углом
Свойство 3
В основание пирамиды можно вписать окружность, центр которой совпадает с проекцией вершины на основание фигуры.
Свойство 4
Все высоты боковых граней пирамиды равны между собой.
Примечание: для перечисленных выше свойств верны и обратные формулировки. Например, для Свойства 1: если все углы между боковыми ребрами и плоскостью основания пирамиды равны, значит эти ребра имеют одинаковую длину.
Виды сечения пирамиды
- Диагональное сечение– секущая плоскость проходит через вершину фигуры и диагональ основания. У четырехугольной пирамиды таких сечения два (по одному на каждую диагональ):
- Если секущая плоскость параллельна основанию пирамиды, она делит ее на две фигуры: подобную пирамиду (считая от вершины) и усеченную пирамиду (считая от основания). Сечением является подобный основанию многоугольник.
На данном рисунке:
- пирамиды EABCDи EA1B1C1D1 подобны;
- четырехугольники ABCDи A1B1C1D1 также подобны.
Примечание: Существуют и другие виды сечения, но они не так распространены.
Виды пирамид
- Правильная пирамида– основанием фигуры является правильный многоугольник, а ее вершина проецируется в центр основания. Может быть треугольной, четырехугольной (на рисунке ниже), пятиугольной, шестиугольной и т.д.
- Пирамида с боковым ребром, перпендикулярным основанию– одно из боковых ребер фигуры расположено под прямым углом к плоскости основания. В этом случае данное ребро является высотой пирамиды.
- Усеченная пирамида – часть пирамиды, оставшаяся между ее основанием и параллельной этому основанию секущей плоскостью.
- Тетраэдр– это треугольная пирамида, гранями которой являются 4 треугольника, каждый из которых может быть принят за основание. Является правильным (как на рисунке ниже) – если все ребра равны, т.е. все грани – это равносторонние треугольники.
Примеры
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Домашняя работа
