2. Конспект для ученика по теме «Повторение теории и решение простейших задач на перпендикулярность прямой и плоскости»

729

Здравствуйте! Сегодня повторим решение простейших задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Содержание

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой х, лежащей в этой плоскости (рис. 1).

Рис. 1

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

В плоскости α лежат две прямые b и c, пересекающиеся в точке О. Прямая а перпендикулярна прямой b и прямой c (рис. 2). Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α.

Рис. 2

Теорема о существовании прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости

Через любую точку М пространства проходит единственная прямая а, перпендикулярная плоскости α.

Рис. 3

Задачи

Задача 1

Прямая РQ параллельна плоскости α (рис. 4). Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р₁ и Q₁. Докажите, что PQ = P₁Q₁.

Рис. 4

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Две прямые РР₁ и QQ₁ перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, эти прямые параллельны между собой. Пусть через них проходит плоскость β. В плоскости β прямые PQ и P₁Q₁ параллельны, так как по условию PQ параллельна α.

Рассмотрим прямоугольник РР₁Q₁Q. В прямоугольнике РР₁Q₁Q противоположные стороны равны, значит, PQ = P₁Q₁, что и требовалось доказать.

Задача 2

Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках P₁ и Q₁.

Найдите P₁Q₁, если PQ = 15см., РР₁= 21,5 см., QQ₁= 33,5 см.

Рис. 5

Дано:

Найти:

Решение:

Две прямые РР₁ и QQ₁ перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, прямые РР₁ и QQ₁ параллельны. Значит, через них проходит единственная плоскость PQQ₁P₁. Прямая РР₁ перпендикулярная плоскости α, а значит и прямой Р₁Q₁. Так как прямые РР₁ и QQ₁ параллельны, а угол РР₁Q₁ прямой, то четырехугольник РР₁Q₁Q - прямоугольная трапеция.

Рис. 6

Проведем прямую РА перпендикулярно прямой QQ₁.Отрезки РА и P₁Q₁ равны.

Отрезок Q₁A равен отрезку РР₁. Найдем QA: QA = QQ₁ - АQ₁ = QQ₁ - РР₁ = 33,5 - 21,5 = 12 см.

Рассмотрим треугольник АРQ. Он прямоугольный, так как угол QАР прямой. Найдем катет РА.

P₁Q₁= РА = 9 см.

Ответ: 9 см.

Задача 3

Четырехугольник АВСD – квадрат. Точка О его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.

а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD

б) Найдите МА, если АВ = 4 см. ОМ = 1 см.

Напоминание:

Рассмотрим квадрат АВСD (рис. 7). Как известно, точка пересечения диагоналей О равноудалена и от вершин квадрата, и от сторон квадрата. То есть она является центром описанной окружности с радиусом R и центром вписанной окружности с радиусом r. Точка О и называется центром квадрата, т.е. это точка пересечения диагоналей. Если сторона квадрата равна а, то радиус описанной окружности равен:

Радиус вписанной окружности равен:

Рис. 7

Дано:

АВСD – квадрат

О – центр квадрата

АВ = 4 см, ОМ = 1 см.

Доказать: МА = МВ = МС = МD.

Найти: МА

Рис. 8

Прямая МО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости, в том числе и диагоналям квадрата. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD прямоугольные.

Рассмотрим треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD. По свойству квадрата ОА = ОВ = ОС = ОD. Значит, эти стороны треугольников равны друг другу. Катет МО общий. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Из равенства прямоугольных треугольников вытекает равенство его гипотенуз: МА = МВ = МС = МD, что и требовалось доказать. Найдем теперь отрезок МА.

Рассмотрим квадрат АВСD. АО – это радиус описанной окружности. Получаем: