Плоскостью сечения многогранника можно назвать любую плоскость, по обе стороны которой находятся точки многогранника.
Секущая плоскость пересекает грани многогранников по отрезкам.
Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
Так как у тетраэдра 4 грани, то сечением тетраэдра может быть треугольник (Рис. 1) или
четырёхугольник (Рис. 2).
Рис. 1 Рис. 2
У параллелепипеда 6 граней, поэтому сечением этого многогранника может быть треугольник (Рис. 3), четырёхугольник (Рис. 4), пятиугольник (Рис. 5) или шестиугольник (Рис. 6).
Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6
При построении сечения надо вспомнить следующие знания из предыдущих тем:
- Если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая находится в этой плоскости.
- Если две плоскости имеют общую точку, то эти плоскости пересекаются по прямой.
- Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.
Примеры построения сечений:
Пример 1
2. — непараллельные прямые в одной плоскости пересекаются;
3. Проводим XN, так как обе точки находятся в одной плоскости;
5. Проводим MP, так как обе точки находятся в одной плоскости;
7. Соединяем N и L и получаем сечение MPNLK.
Пример 2.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.
Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.
Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.
Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.
X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.
Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.
Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C:
пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2;
пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3;
Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD1C1C. Проведем прямую X2 X3 , которая пересечет ребро C1C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.
MKNTPL - искомое сечение.
Пример 3.
Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.
Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.
Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.
Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.
Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.
X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.
Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.
Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).
Соединим точки P и L (они лежат в одной плоскости).
MKNTPL - искомое сечение.