2. Конспект для ученика по теме «Призма. Параллелепипед. Куб»

Призма

Призма – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник с двумя параллельными и равными гранями (многоугольниками), а другие грани при этом являются параллелограммами. 

• Боковое ребро – отрезок, соединяющий соответствующие друг другу вершины разных оснований (AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁). Является общей стороной двух боковых граней.
• Высота (h) – это перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому, т.е. расстояние между ними. Если боковые ребра расположены под прямым углом к основаниям фигуры, значит они одновременно являются и высотами призмы.
• Диагональ основания – отрезок, который соединяет две противолежащие вершины одного и того же основания (AC, BD, A₁C₁ и B₁D₁). У треугольной призмы данного элемента нет.
• Диагональ боковой грани – отрезок, который соединяет две противолежащие вершины одной и той же грани. На рисунке изображены диагонали только одной грани (CD₁ и C₁D), чтобы не перегружать его.
• Диагональ призмы – отрезок, соединяющий две вершины разных оснований, не принадлежащих одной боковой грани. Мы показали только две из четырех: AC₁ и B₁D.
• Поверхность призмы – суммарная поверхность двух ее оснований и боковых граней.

Основные свойства призмы

• Основы призмы - равные многоугольники.
• Боковые грани призмы - параллелограммы.
• Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
• Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
• Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
• В прямой призме гранями могут быть прямоугольниками или квадратами.

Варианты сечения призмы

1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через диагональ основания призмы и два соответствующих боковых ребра.

Примечание: у треугольной призмы нет диагонального сечения, т.к. основанием фигуры является треугольник, у которого нет диагоналей.

2. Перпендикулярное сечение – секущая плоскость пересекает все боковые ребра под прямым углом.

Виды призм

Рассмотрим разновидности фигуры с треугольным основанием.

1. Прямая призма– это такая геометрическая фигура, у которой боковые грани расположены под прямым углом к основаниям (т.е. перпендикулярны им). Высота такой фигуры равняется ее боковому ребру.
2. Наклонная призма– боковые грани фигуры не перпендикулярны ее основаниям.
3. Правильная призма – основаниями являются правильные многоугольники. Может быть прямой или наклонной.
4. Усеченная призма– часть фигуры, оставшаяся после пересечения ее плоскостью, не параллельной основаниям. Также может быть как прямой, так и наклонной.

Параллелепипед

Параллелепипед – это разновидность призмы с параллелограммом в качестве оснований. Основные элементы фигуры те же, что и у призмы.

Виды параллелепипедов

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллелепипеда взаимно параллельны и являются равными параллелограммами.

2. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и в ней делятся пополам.
3. Квадрат диагонали (d) прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: длины (a), ширины (b)и высоты (c).

d² = a² + b² + c²

Примечание: к параллелепипеду, также, применимы свойства призмы.

Куб

Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.

Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.

Свойства куба

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

Свойство 2

Свойство 3

Вместо заключения

Слово ПРИЗМА используется не только в геометрии, хотя именно это значение считается главным. И именно оно первым записано во многих словарях. Но есть и другие варианты:

1. Физика– устройство для преломления световых лучей.
2. Риторика– оценка с учетом определенных факторов. Например, «Он смотрел на нее через призму прожитых лет» или «Он общался с ними через призму своего настроения».
3. Техника– элемент металлорежущего станка, который предназначен для закрепления на нем цилиндрической заготовки.

А еще «Призма» — это кодовое название советской радиостанции 5-АК. Есть такой хоккейный клуб в Латвии – «Призма-Рига». И наконец, в Финляндии существует сеть продуктовых магазинов «PRISMA».

Тесты

Тест по теме: «Прямоугольный параллелепипед»

Вариант №1

Уровень А

1. Развёрткой прямоугольного параллелепипеда является фигура под номером…

2.

3. Все шесть граней прямоугольники …

1) у наклонного параллелепипеда;

2) прямого параллелепипеда;

3) прямоугольного параллелепипеда.

4. В прямоугольном параллелепипеде неверно, что…

1) диагонали параллелепипеда равны;

2) диагонали всех боковых граней равны;

3) диагонали оснований равны.

5. 

6. 

7. Какое утверждение неверное?

1) Куб – это прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.

2) Если в параллелепипеде все рёбра равны, то он является кубом.

3) Не могут боковые грани куба быть не квадратами.

8.

Уровень B

Вариант №2

Уровень А

1. Не является развёрткой прямоугольного параллелепипеда фигура под номером…

2. 

3. Четыре грани – прямоугольники, а две – параллелограммы…

1) у наклонного параллелепипеда;

2) прямого параллелепипеда;

3) прямоугольного параллелепипеда.

4. Только в прямоугольном параллелепипеде верно, что…

1) противоположные грани равны и параллельны;

2) диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам;

3) диагонали равны.

5. Какое предложение верное?

1) Всякие два диагональных сечения прямоугольного параллелепипеда пересекаются по его диагоналям.

2) В прямоугольном параллелепипеде все диагональные сечения равны.

3) В прямоугольном параллелепипеде все диагональные сечения – прямоугольники.

6. 

7. Какое утверждение верное?

1) Не могут боковые грани прямоугольного параллелепипеда быть не прямоугольниками.

2) Прямоугольный параллелепипед – это куб.

3) Боковыми гранями куба не могут быть прямоугольники с равными смежными сторонами.

8.

Уровень B

Тест по теме: «Призма»

Вариант №1

Уровень A

1. Призма изображена на рисунке…

2. 6 – это число…

1) вершин шестиугольной призмы;

2) рёбер треугольной призмы;

3) граней четырёхугольной призмы.

3. Не существует призмы, у которой все грани…

1) ромбы;

2) прямоугольники;

3) треугольники.

4. Существует призма, которая имеет…

1) 13 рёбер;     2) 14 рёбер;     3) 15 рёбер.

5.

6.

7. Развёрткой наклонной призмы является фигура под номером…

Уровень B

1. В правильной четырёхугольной призме площадь основания равна 144 см2, а высота равна 14 см. Тогда длина диагонали этой призмы…

2.

3.

Вариант №2

Уровень А

1. Призма изображена на рисунке…

2. 9 – это число…

1) вершин девятиугольной призмы;

2) рёбер треугольной призмы;

3) граней четырёхугольной призмы.

3. Не существует призмы, у которой все грани…

1) ромбы;

2) квадраты;

3) трапеции.

4. Число рёбер призмы кратно…

1) 5; 2) 2; 3) 3

5.

6.

7. Не является развёрткой правильной призмы фигура под номером…

Уровень В

• «Вконтакте»: vk.com/myetginpro
• «Одноклассники»: ok.ru/etginpro
• «YouTube»: youtube.com/channel/UC5Sv[...]