Главная
Математика
10 класс
2. Геометрия
2.9 Повторение теории. Решение более сложных задач на параллельность прямой и плоскости
Текущая страница

2. Конспект для ученика по теме «Повторение теории. Решение более сложных задач на параллельность прямой и плоскости»

519

Здравствуйте! Сегодня потренируем навыки решения более сложных задач на параллельность прямой и плоскости.

Содержание

Определение параллельных прямых

Определение: две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 1).

Рис. 1. Параллельные прямые

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Пояснение к лемме

Даны две параллельные прямые а и b. Прямая а пересекает плоскость в точке М. Лемма утверждает, что прямая b тоже пересекает плоскость в некоторой точке, назовем ее N (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к лемме

Определение параллельности прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Пояснение к признаку

Дана плоскость , прямая b лежит в плоскости α, прямая а параллельна прямой b, прямая а не лежит в плоскости (рис. 3). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, прямая а параллельна всей плоскости . Мощь этого признака в том, что только из того, что прямая а не имеет общих точек с прямой b (небольшой частью всей плоскости), следует, что прямая а не имеет общих точек со всей плоскостью.

Рис. 3. Иллюстрация к признаку

Следующее утверждение часто используется для решения задач.

Утверждение 1

Если плоскость проходит через данную прямую а, параллельную другой плоскости (а || ), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой: a || b.

Пояснение утверждения

Дана плоскость и прямая а, которая параллельна плоскости (рис. 4).

Через прямую а проходит плоскость , которая пересекает плоскость по некоторой прямой b . Согласно утверждению, линия пересечения плоскостей и – прямая b будет параллельна прямой а.

Рис. 4. Иллюстрация к утверждению

Задача 1

Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку СD, пересекает плоскости данных треугольников.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Задача 2

Точки А и В лежат в плоскости , а точка С не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельна плоскости .