Здравствуйте! На этом уроке мы продолжим изучение всех трех основных методов решения систем уравнений и их комбинаций на примере решения систем повышенной сложности. А также рассмотрим некоторые специфические приемы для упрощения различных типов систем.
Выбор метода решения системы зависит от её специфики. Основными являются стандартные методы – метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных. Возможны иные методы и их комбинации. Рассмотрим их на примерах.
Пример 1.
Решить систему
Решение: Специфика данной системы в том, что второе уравнение раскладывается на множители.
Мы получили систему, линейную относительно . Исходную систему упростили методом подстановки. Полученную систему решаем методом алгебраического сложения.
Решение системы методом алгебраического сложения:
Мы решили систему комбинацией методов подстановки и алгебраического сложения.
Ответ: (2; 1); (2;-1); (-2; 1); (-2;-1).
(Видеоурок)
Пример 2.
Решить систему
Решение: Можно сделать замену переменной и тем самым понизить степень уравнения. Но мы применим метод подстановки, выразим 
через 
.
Получили биквадратное уравнение. По теореме Виета 
Ответ: (1; 3); (1;-3); (-1;3); (-1;-3); (3;1); (3; -1); (-3;1); (-3;-1).
Пример 3.
Решить систему
Решение: Применим метод алгебраического сложения, чтобы избавиться от у.
Ответ: (-2; 0); (-2; -1); (1; 0); (1; -1).
Пример 4.
Решить систему
Решение: Важно увидеть, что левая часть первого уравнения – это формула квадрата разности.
Мы получили линейную систему двух уравнений относительно x и y Вычтем из первого уравнения второе.
Ответ: (2; 1).
Пример 5.
Решить систему
Заметим, что 
и произведем замену переменных:
Решаем систему относительно новых переменных:
Мы решили систему относительно новых переменных, перейдем к старым переменным.
Пример 6.
Решить систему
Решение: Заметим одинаковые члены и почленно поделим одно уравнение на другое.
Мы можем сократить на x + 2y только если x + 2y≠0, но это так и есть, т.к. в противном случае исходная система содержала бы противоречие.
По этой же причине и x - y ≠ 0.
Подставим x в первое уравнение.
Мы решили систему методом почленного деления уравнений.
Ответ: (2; 1); (-2; -1).
Решение систем неоднородных уравнений второй степени
Пример 7.
Решить систему
Решение:
В левой части каждого уравнения стоит квадратный трехчлен относительно x с параметром y. Каждый одночлен имеет степень 2, уравнение неоднородное. Есть метод решения таких уравнений, но справа должен быть 0. Умножим первое уравнение на -2.
Ответ: (1; 0); (-1; 0); (1; 1); (-1;-1).
Пример 8.
Решить систему
Решение: Имеем систему двух неоднородных уравнений второй степени. Как и в предыдущей системе, нам необходимо обнулить правую часть одного из уравнений. Умножим первое уравнение на -2.
Мы получили однородное уравнение второй степени.
Решим первое уравнение путем деления на старшую степень x или y.
Тут возможны два варианта y = 0 или y≠0.
-
- y = 0.В таком случае и x = 0. Но это создает противоречие во втором уравнении системы.
- y ≠ 0.Разделим обе части уравнения на .
Получили квадратное уравнение относительно 
.
Корни квадратного уравнения 
возникает противоречие, система не имеет решения.
Ответ: (2; 1); (-2; -1).
Мы рассмотрели системы двух уравнений с двумя неизвестными, решили их, обсудили методы решения. Важно, что эти системы были даны в явном виде. На следующих уроках нам придется получать системы, решая текстовые задачи.
