Для начала вспомним основное логарифмическое тождество:
Пример 1.
Теперь вспомним основные логарифмические свойства.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
После того, как мы вспомнили основное тригонометрическое тождество и некоторые основные свойства, перейдем к методам решения логарифмических уравнений.
Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них.
И это решение состоит из двух равноценных частей:
1) нахождение области допустимых значений (ОДЗ)
2) решение самого уравнения.
Рассмотрим различные виды логарифмических уравнений и методы их решений:
- Уравнения вида
Простейшее уравнение решается методом потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:
т.е. если равны логарифмы по одному и тому же основанию, то и равны логарифмируемые выражения.
Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:
а) одинаковые числовые основания
в) логарифмы слева-справа чистые
Пример 6.
Решить уравнение:
Решение:
В область допустимых значений (ОДЗ) входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:
Видим логарифмы по одному и тому же основанию равны, значит, равны и логарифмируемые выражения
В область допустимых значений входит только первый корень x = 7.
2. Уравнения вида 
Уравнение – простейшее логарифмическое уравнение, где a, b – числа; a > 0, 
Переменная x присутствует только внутри аргумента.
Способы решения:
1) Решение уравнений применением определения логарифма
Решение уравнения 
основано на применении определения логарифма и в решении равносильного уравнения 
Для уравнений записывать область определения не нужно 
, потому что она будет выполняться автоматически. Так как в какую бы степень мы бы не возводили положительное число а, на выходе мы все равно получим положительное число.
Пример 7.
Решите уравнение:
2) Решение простейшего логарифмического уравнения представлением числа в виде логарифма 
(методом потенцирования).
Пример 8.
Решите уравнение:
Решение:
Так как
тогда уравнение примет вид:
3. Уравнения, решаемые применением свойств логарифмов
Схема решения не простых логарифмических уравнений
- Привести уравнение с помощью свойств логарифмов к виду:
- Решить равносильное уравнение по их алгоритму.
Пример 9.
Решение:
ОДЗ:
Если 
переведем в правую часть уравнения, то получим уравнение вида 
.
Ответ: 2
4. Уравнения, решаемые введением новой переменной
Если в уравнении неоднократно встречается некоторое определенное выражение, то оно решается введением новой переменной 
Пример 10.
Решение:
5. Уравнения вида 
Способы решения:
а) Применение определения логарифма
b) Представление числа в виде логарифма
Пример 11.
Решение:
Ответ: x = 3
6. Показательно – логарифмические уравнения
При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.
Пример 12.
Решение:
ОДЗ: 
. Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 10, получим уравнение:
Положив 
, придем к уравнению 
Оба найденных значения входят в ОДЗ.
7. Функционально – графический метод.
Обычно графический метод применяется, если трудно найти другие методы. Графический метод менее точный. Целесообразно его использовать, если стоит вопрос «Сколько корней имеет уравнение».
Пример 13.
Решить графически:
Решение:
В одной и той же системе координат строим графики функций
Ответ: 2
8. Метод использования монотонности функции
Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из функции 
возрастает, а другая 
убывает на промежутке , то уравнение 
имеет не более одного корня на промежутке Х.
Пример 14.
Решение:
Примеры для самостоятельного решения.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решение:
Пример 4.
Решение:
Пример 5.
Решение:
Домашнее задание.
1.
Решение:
ОДЗ:
2.
Решение:
ОДЗ:
3.
Решение:
4.
Решение:
