Для начала разберемся с понятием радикал:
Радикал – математический знак, которым обозначают действие извлечения корня, а так же результат извлечения корня
Уравнение с одной переменной называют иррациональным, если хотя бы одна из функций или содержит переменную под знаком радикала.
Рассмотрим простые иррациональные уравнения и методы их решения.
1. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень
Пример 1.
Решение:
Возведем обе части уравнения в квадрат и учтем ОДЗ.
2. Решение уравнений с использованием замены переменной
Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.
Пример 2.
Решение:
3. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение
Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений
Пример 3.
Решение:
4. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений
При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула:
Пример 4.
Решение:
5. Метод оценки
Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения.
Пример 5.
Решение:
Оценим обе части уравнения:
Левая часть уравнения существует при всех значениях переменной x, не меньших 5, а правая – при всех значениях, не больших 5, следовательно, уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая система:
Корнем второго уравнения системы является число .
Проверим, является ли это число корнем второго уравнения:
6. Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй
Если уравнение имеет вид то его можно решить, возводя обе части этого уравнения в степень
Пример 6.
Решение:
Возведем обе части уравнения в куб:
Примеры для самостоятельного решения.
Пример 1.
Решение:
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решение:
Домашнее задание.
1.
Решение:
2.
Решение: