1. Конспект для учителя по теме «Решение логарифмических неравенств»

#Актуально #Упражнения
2252
2

Здравствуйте! Сегодня потренируем навыки решения логарифмических неравенств.



Переход к основной теме:

Логарифмические неравенства

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа 30-b по основанию 30-a1 — это показатель степени, в которую надо возвести 30-a1, чтобы получить 30-b.

При этом 30-f1 

Основное логарифмическое тождество:

30-f2

Основные формулы для логарифмов:

30-f3

Формула перехода к новому основанию:





30-f4

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства.

Привести неравенство к виду 30-f5. Знак здесь может быть любой: 30-f6 Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени30-f7, знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что 30-f8, знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения 30-f9.

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение 30-f9.

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log3x > log35.

Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log3x1 > log3x2 следует, что x1 > x2.

30-risunok1

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

30-pr2

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

30-pr2-1

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

30-pr2-2

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример:

30-pr3

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

30-pr3-1

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку 3-f1, логарифмическая функция с основанием 3-f2 монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

30-pr3-ris

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

  4. Решите неравенство

30-ras3

30-pr4-1

  5. Решите неравенство

30-ras5

30-pr5-1

Если 30-pr5-2 , то 30-pr5-3. Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

30-pr5-4

Сделаем замену 30-pr5-5

30-pr5-6

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене.

  6. Решите неравенство

30-ras6

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

30-pr6-1

Упростим эту систему:

30-pr6-2

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

30-pr6-3

В данном случае удобно перейти к основанию 4.

30-pr6-4

Сделаем замену 30-pr6-5 

30-pr6-6

Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

30-pr6-7

  7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

30-ras7

Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

30-pr7-1

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

30-pr7-2

Видим, что условие 30-pr7-3 (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

30-pr7-4

Решаем неравенство методом интервалов:

30-pr7-5

Еще материалы по теме «30. Решение логарифмических неравенств »



Хотите пойти учиться в колледж?
Выбирайте «Тьюторию»!

Поступление без ОГЭ и ЕГЭ. Обучаем перспективным профессиям
после 9 или 11 класса.

Жмите на баннер!
Текст прошел проверку у экспертов «ИнПро» ®
педагог по математике
педагог по математике
педагог по математике
Ирина Михайловна
методист образовательного холдинга «ИнПро»

Справочно:

Материалы подготовлены Федеральным образовательным сервисом «ИнПро»® – Лицензия Минобрнауки 22Л01 № 0002491.

Готовим детей к школе, а также подтягиваем по школьной программе по всей России в 40+ центрах и онлайн, в том числе в Вашем городе.

Бесплатная горячая линия: 8 800 250 62 49 (с 6 до 14 по Мск).


Следите за новостями в социальных сетях:


Нужен репетитор? Запишитесь на бесплатное пробное занятие в «ИнПро»®

Отправка запроса ни к чему не обязывает, это бесплатно. Будем рады помочь!

Отправляя заявку, Вы соглашаетесь на обработку персональных данных.

Нужен репетитор?
Запишитесь на бесплатное пробное занятие в «ИнПро»®

Отправка запроса ни к чему не обязывает, это бесплатно. Будем рады помочь!

Отправляя заявку, Вы соглашаетесь на обработку персональных данных.
Бесплатное занятие Бесплатное занятие