Проверка домашнего задания.
Переход к основной теме:
Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник.
Возьмем, к примеру, угол 
. Определим соотношения сторон в этом треугольнике следующими функциями угла:
- отношение противолежащего катета к гипотенузе называется синусом, т.е.
; - отношение прилежащего катета к гипотенузе называется косинусом, т.е.
- отношение противолежащего катета к прилежащему называется тангенсом, т.е.
- отношение прилежащего катета к противолежащему называется котангенсом, т.е.
Все эти функции называют тригонометрическими. А сам угол при этом является аргументом тригонометрической функции.
Для второго острого угла можно записать аналогичные соотношения:
Тригонометрическая окружность
Определить тригонометрические функции для любых значений аргумента можно с помощью так называемой единичной тригонометрической окружности – окружности с центром в начале координат и радиусом 1.
Углы отсчитываются от положительного направления оси OX, при этом против часовой стрелки откладывается положительное значение угла, а по часовой стрелке – отрицательное. По определению (несложно показать, что это определение согласуется с определением тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике):
Это можно записать в таком виде: 
. Таким образом, синус – это ордината соответствующей точки на единичной окружности, а косинус – абсцисса.
Тангенс и котангенс определяются следующим образом: 
Для того чтобы ввести функции тангенса и котангенса на тригонометрической окружности, необходимо изобразить дополнительные элементы: касательную к окружности в точке 
– по ней определяется значение тангенса угла , и касательную к окружности в точке 
– по ней определяется значение котангенса угла.
Особенности работы с тригонометрической окружностью:
- углы, больше
, откладываются против часовой стрелки с прохождением начала отсчета столько раз, сколько это нужно. Например, для построения угла 
необходимо пройти два полных оборота и еще 
. Для окончательного положения и вычисляются все тригонометрические функции. Несложно увидеть, что значение всех тригонометрических функций для и для будут одинаковыми; - отрицательные углы откладываются точно по тому же принципу, что и положительные, только по часовой стрелке.
Периоды тригонометрических функций
Минимальные ненулевые числа, при добавлении которых к аргументу, не меняется значение функции, называют периодом этой функции.
Период синуса и косинуса равен , а тангенса и котангенса 
. А это означает, что при добавлении этих периодов к рассматриваемым углам или вычитании их от тех же рассматриваемых углов, значения тригонометрических функций не изменяются (например, 
, а 
).
Свойства тригонометрических функций
Знаки тригонометрических функций в зависимости от того, в какую четверть попадает рассматриваемый угол.
Области значений тригонометрических функций:
Основные тригонометрические тождества. Таблица значений
Основные тригонометрические тождества:
Некоторые следствия:
Один радиан – это угол, образованный двумя радиусами, которые стягивает дуга, также равная по длине радиусу. Измерять углы в радианах принято долями числа 
, например,
или 
.
(так как длина окружности равна 
, то вся окружность содержит 
радиан). Используя пропорцию, можно выразить градусную меру любого угла в радианах и наоборот. Например, переведем в радианы: 
.
- Для перевода из радианов в градусы обычно подставляют:
(например, 
).
Таблица значений тригонометрических функций наиболее часто встречающихся при решении задач углов.
Для решения примеров есть следующие инструменты.
- Определение тригонометрических функций (для острых углов – через стороны прямоугольного треугольника, для произвольных углов – через единичную окружность).
- Значение тригонометрических функций для некоторых углов.
- Знаки тригонометрических функций в зависимости от четверти.
- Связь между градусной и радианной мерами углов.
- Основные тригонометрические тождества, с помощью которых можно выразить значение тригонометрической функции через любую другую.
Преобразование выражений, содержащих тригонометрические функции
Для преобразования тригонометрических выражений, в которых аргументом выступает одна и та же переменная, используются основные тригонометрические тождества, а также все методы преобразования выражений, которые мы использовали до этого:
- раскрытие скобок;
- использование формул сокращённого умножения;
- вынесение общего множителя за скобки;
- действия с дробями.
