Тригонометрия – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.
Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника).
- Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинус угла – отношение прилежащего угла к гипотенузе.
- Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (отношение синуса к косинусу).
- Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (отношение косинусу к синусу).
Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0 до 90 градусов.
Нарисуйте прямоугольный треугольник. Используя его, самостоятельно попробуйте записать определения тригонометрических функций для острого угла:
Чтобы научиться разбираться в тригонометрии, нужно знать тригонометрический круг. Для начала нарисуем прямоугольную систему координат. Отметим на ней точки (-1;0), (1:0), (0,-1), (0;1), соединим и получим окружность радиусом 1.
На данной окружности будет три шкалы отчета – ось х, ось у и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами (1;0) – от положительного направления оси х, против часовой стрелки. Рассмотри угол SOA, обозначим его за (альфа). Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он «опирается» т.е. дуге SA в данном случае.
Далее найдем синус и косинус этого угла. Для этого опустим перпендикуляры из точки А на ось х и ось у. Ниже дан рисунок, видно что получился прямоугольный треугольник АОВ.
Косинусом альфа будет деление ОВ на ОА, так как ОА = 1, в итоге получим косинус равен стороне ОВ.
Синусом альфа является в данном случае деление АВ на ОА, тогда получем синус равен стороне АВ.
Таким образом, косинус угла – координата точки А по оси х, синус угла – координата точки А по оси у.
Если угол альфа – тупой или больше 90 градусов. Косинус угла будет отрицательным.
Теперь на окружности углы от 0 до 180 градусов как ни рисунке ниже:
Из каждой точки на окружности отмечены перпендикуляры и соответствующие значения.
Координата по оси х – косинус угла, по оси у – синус угла. Пример синус 30 градусов – это 0,5 или косинус 25 градусов корень из двух поделить на два.
Синус тупого угла – положительная величина, косинус – отрицательная. Тогда тангенс и котангенс углов будет отрицательной величиной (деление положительного на отрицательное значение и наоборот).
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ, применим к нему т. Пифагора.
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Тогда сумма квадратов АВ и ОВ, равна ОА в квадрате. Но ОА – является радиусом и равно единице, а АВ и ОВ как мы доказали ранее есть синус и косинус соответственно.
Последнее выражение называют основным тригонометрическим тождеством (синус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате альфа равно 1).
Последнее, что нужно рассмотреть это формулы приведения. Выведем их из нашей окружности, где 180 градусов – развернуты угол или в радианной мере – Пи.
Закрепление:
- Что такое тригонометрия?
- Что такое развернутый угол?
- Скажите определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса?
- Что вам показалось сложным в данной теме?
Домашнее задание:
Нарисовать тригонометрический круг. Отметить на нем углы и записать таблицу синуса и косинуса к каждому углу в третьей и четвертой четверти.
