2. Конспект для ученика по теме «Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса»

#Актуально #Упражнения
133
2

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Проверка домашнего задания.

Переход к основной теме:

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)

34-ris1

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается С. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается 34-a.

Угол 34-ba обозначается соответствующей греческой буквой 34-alf.

34-ris2

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет 34-a, лежащий напротив угла 34-alf, называется противолежащим (по отношению к углу 34-alf). Другой катет 34-b, который лежит на одной из сторон угла 34-alf, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

34-f1

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

34-f2

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

34-f3

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

34-f4

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

34-f5

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

34-ris3

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна 34-180. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 34-90.
  2. С одной стороны, 54-sin как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, 34-cos, поскольку для угла 34-beta катет 34-a будет прилежащим. Получаем, что 34-ff1 Иными словами, 34-ff2
  3. Возьмем теорему Пифагора: 34-ff3. Поделим обе части на 34-ff4: 34-tog. Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на 34-ff4. Мы получим: 34-ff5 . Это значит, что если нам дан тангенс острого угла 34-alf, то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично, 34-ff6

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 34-180.

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: 34-ff3.

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

34-ris4

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 34-0 до 34-90.

34-ris5

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

  1. В треугольнике 34-adc угол 34-c равен 34-90, 34-f6. Найдите 34-f7.
  2. В треугольнике 34-adc угол 34-c равен 34-90, 34-f8 Найдите 34-f9.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами 34-90, 34-30 и 34-60 или с углами 34-90, 34-45 и 34-45. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

34-ris6

Для треугольника с углами 34-90, 34-30 и 34-60 катет, лежащий напротив угла в 34-30, равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами 34-90, 34-45 и 34-45 — равнобедренный. В нем гипотенуза в 34-k1 раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов.

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 34-180.

34-ris7

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине B — это угол, смежный с углом 34-alf . Если угол  острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

34-ris8

Обратите внимание, что:

34-ris9

Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

1. В треугольнике34-adc угол 34-c равен 34-90, 34-ff7. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

34-ris10

Пусть 34-0f — внешний угол при вершине A.

34-ff8

Зная 34-ff9 1, найдем 34-ff9 2 по формуле

34-ff9

Получим:34-ff9 3

2. В треугольнике34-adc угол 34-c равен 34-90, 34-f6. Найдите синус внешнего угла при вершине B.

133
2
#Актуально #Упражнения
Текст прошел проверку у экспертов «ИнПро» ®
педагог по математике
педагог по математике
педагог по математике
педагог по математике

Справочно:

Материалы подготовлены Федеральным образовательным сервисом «ИнПро»® – Лицензия Минобрнауки 22Л01 № 0002491.

Готовим детей к школе, а также подтягиваем по школьной программе по всей России в 40+ центрах и онлайн, в том числе в Вашем городе.

Бесплатная горячая линия: 8 800 250 62 49 (с 6 до 14 по Мск).


Следите за новостями в социальных сетях:


Нужен репетитор? Запишитесь на бесплатное пробное занятие в «ИнПро»®

Отправка запроса ни к чему не обязывает, это бесплатно. Будем рады помочь!

Отправляя заявку, Вы соглашаетесь на обработку персональных данных.


В текущем разделе «34. Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса » также читают

Нужен репетитор?
Запишитесь на бесплатное пробное занятие в «ИнПро»®

Отправка запроса ни к чему не обязывает, это бесплатно. Будем рады помочь!

Отправляя заявку, Вы соглашаетесь на обработку персональных данных.
Записаться на бесплатное занятие Бесплатное занятие