- Проверка домашнего задания.
- Переход к основной теме:
Основные формулы тригонометрии
Перевод градусной меры угла в радианную и обратно.
Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы:
Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:
Формулы сложения.
Формулы двойных и половинных углов.
Формулы преобразования суммы в произведение:
Формулы преобразования произведения в сумму:
Формулы приведения:
Рассмотрим сначала достаточно простые задания на применение формул тригонометрии.
Пример 1.
Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.
Решение:
Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические
функции 
.
Решая уравнение sin2α = 0,91, получаем два случая (
), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, 
.
Ответ: .
Пример 2.
Решение:
Ответ: 5.
Пример 3.
Упростите выражения:
Пример 4.
Вычислите:
Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.
Пример 5.
Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:
Решение
1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что:
Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла:
2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.
Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1. При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.
3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin6α + cos6α можно представить в виде суммы кубов.
Ответ:
Пример 6.
Найти tgα, если
Пример 7.
Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и
Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.
Пример 8.
Найти значение выражения:
Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.
С целью сокращения дроби
воспользуемся формулой «разность кубов» и получим:
Рассмотрим далее выражение
Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества. Таким образом:
Обратимся далее к преобразованию второй дроби. Применим одну из формул приведения:
Поэтому:
Тогда
Окончательно получаем:
Ответ: 1.
Пример 9.
Вычислить sin10° sin30° sin50° sin70°.
Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.
Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.
Пример 10.
Упростить выражение:
Так как числитель заданной дроби имеем достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя. Для этого применим представление
Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю:
Следовательно,
Ответ: 
.
Пример 11.
Доказать тождество при
Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.
Решение
В частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α:
Вспомнив, что 
, получаем
Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения:
sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому
Таким образом:
Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части:
Тогда,
что и требовалось доказать.
Пример 12.
Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если
