Монотонность функции
Признаки возрастания и убывания функции:
Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в), т.е. f
(x) > 0, то функция в этом интервале возрастает.
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале (а; в), т.е.f(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.
Алгоритм возрастания и убывания
- Найти Д(f).
- Найти f(x).
- Найти стационарные точки, т.е. точки, где f(x) = 0 или f(x) не существует.
(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя) - Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.
- Определить знаки производной на каждом из интервалов
- Применить признаки.
- Записать ответ.
Например:
Признаки максимума и минимума функции:
Если при переходе через стационарную точку х0 производная f(x) данной функции меняет знак с « – » на « + », то функция в этой точке х0 имеет минимум. Если при переходе через стационарную точку х0 производная f(x) данной функции меняет знак с « + » на « – », то функция в этой точке х0 имеет максимум.
Алгоритм нахождения максимума и минимума функции
- Найти Д(f).
- Найти f(x).
- Найти стационарные точки, т.е. точки, где f(x) = 0 или f(x) не существует.
- Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.
- Определить знаки производной на каждом из интервалов.
- Применить признаки.
- Найти уmax,уmin
- Записать ответ.
Например:
Примеры
Пример 1.
Исследовать интервалы монотонности функции
f(x)=x3−4x2−16x+17.
Пример 2.
Исследовать на возрастание и убывание:
Пример 3.
Исследовать на возрастание и убывание
f(x) = x3 – 27x
Пример 4.
Исследовать на максимум и минимум:
Примеры для самостоятельного решения
Пример 1.
Найдите интервалы возрастания и убывания функции:
Пример 2.
Найдите промежутки возрастания и убывания
функции, точки экстремума и экстремумы
f(x)=-5x5+3x3.
Домашнее задание
Исследовать следующие функции:
