1. Конспект для учителя по теме «Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы»

Монотонность функции

Признаки возрастания и убывания функции:

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в), т.е. f(x) > 0, то функция в этом интервале возрастает.
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале (а; в), т.е.f(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.

Алгоритм возрастания и убывания

1. Найти Д(f).
2. Найти f(x).
3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f(x) = 0 или f(x) не существует.
   (Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)
4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.
5. Определить знаки производной на каждом из интервалов
6. Применить признаки.
7. Записать ответ.

Например:

Признаки  максимума и минимума функции:

Если при переходе через стационарную точку х₀  производная f(x)  данной функции меняет знак с « – » на « + »,  то функция в этой точке х₀ имеет минимум. Если при переходе через стационарную точку х₀  производная f(x) данной функции меняет знак с « + » на « – »,  то функция в этой точке х₀ имеет максимум.

Алгоритм нахождения максимума и минимума функции

1. Найти Д(f).
2. Найти f(x).
3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f(x) = 0 или  f(x) не существует.
4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.
5. Определить знаки производной на каждом из интервалов.
6. Применить признаки.
7. Найти у_max,у_min
8. Записать ответ.

Например:

Примеры

Пример 1. 

Исследовать интервалы монотонности функции

f(x)=x³−4x²−16x+17.

Решение:

Сначала находим производную: f(x)=3x²−8x−16.

Это парабола, которая пересекает ось x  в точках x₁=−4/3 и x₂=4, и чьи ветви направлены вверх.

Поэтому производная отрицательна в интервале (−4/3;4) (функция убывает) и положительна в интервалах 

(−∞;−4/3) и (4;+∞) (функция возрастает).

Пример 2.

Исследовать на возрастание и убывание:

Решение: 

D(f):  

Ответ: функция возрастает на

Пример 3.

Исследовать на возрастание и убывание

 f(x) = x³ – 27x

Решение. D(f): R.

критические точки

Ответ: функция возрастает на

Пример 4.

Исследовать на максимум и минимум: 

Решение:

Найдем производную функции: 

Приравняем производную нулю: 6(х² + х - 2) = 0, решим это квадратное уравнение и найдем стационарные точки функции x₁ = -2 и х₂ = 1.

Отметим стационарные точки на координатной оси и построим диаграмму знаков производной f(x).

Видно, что в точке х = -2 знак производной меняется с минуса на плюс. Поэтому критическая точка х = -2 - точка минимума. Найдем минимум функции:

В точке x = 1 знак производной меняется с плюса на минус. Поэтому критическая точка х = 1 - точка максимума. Найдем максимум функции: 

Примеры для самостоятельного решения

Пример 1.

Найдите интервалы возрастания и убывания функции:

Решение:

Пример 2.

Найдите промежутки возрастания и убывания

функции, точки экстремума и экстремумы

f(x)=-5x⁵+3x³.

Решение:

f(x)=-25x⁴+9x²=x²(-25x²+9)

f(x)=0

x²(-25x²+9)=0

x=0, x=3/5

f(x) возрастает на [-3/5;3/5]

f(x) убывает на (-∞;-3/5], [3/5;+∞)

X_max=3/5   X_min=-3/5

Домашнее задание

Исследовать следующие функции:

• «Вконтакте»: vk.com/myetginpro
• «Одноклассники»: ok.ru/etginpro
• «YouTube»: youtube.com/channel/UC5Sv[...]