называют пределом последовательности
, если в любой заранее выбранной 
- окрестности точки
Правила вычисления пределов некоторых последовательностей
Даны две последовательности
и 
,
Последовательности сходящиеся.
1. + – новая последовательность, ее предел
Предел суммы последовательностей, равен сумме пределов этих последовательностей.
2. 
Этот предел равен произведению 
, то есть произведению этих пределов.
3. 
Предел этой последовательности, то есть предел частного равен 
, где 
.
4. 
где 
постоянный множитель, который можно вынести за знак предела.
5. 
Виды неопределенностей
Но при вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределённостями.
Основные виды неопределенностей:
Примеры
Пример 1
Решение:
мы знаем, что
отсюда
Пример 2
Найти предел последовательности
Решение:
Пример 3
Вычислите предел
Решение:
При прямой подстановке, получается неопределенность:
Разложим на множители числитель и знаменатель и вычислим предел:
Примеры для самостоятельного решения
Пример 1
Вычислить предел
Решение:
Разложим предел на 4 предела 
, при этом к вынесем за знак предела, получим:
Пример 2
Решение:
Пример 3
Решение:
Разделим числитель и знаменатель на 
затем воспользуемся правилом «деления пределов». Предел числителя равен 2, а знаменателя 1. Предел равен 2.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Пример 1
Найти сумму геометрической прогрессии:
Решение:
Значит, имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию:
Ответ:
Пример 2
Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии (bn): 6; -2; ... .
Решение:
По условию b1 = 6; b2 = -2, следовательно,
Имеем геометрическую прогрессию, у которой |q|< 1. По формуле:
находим:
Пример 3
Запишем число 0,(7) в виде обыкновенной дроби.
Решение:
Запись 0,(7) означает бесконечный периодический дробь 0,7777....
Его можно представить, как бесконечную сумму:
Слагаемые этой суммы являются членами бесконечной геометрической прогрессии, у которой
Тогда эта сумма равна:
Поэтому 0,(7) = 
.
Ответ: .
Примеры для самостоятельного решения
Пример 1
Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии
Решение:
Сумму найдём по формуле:
Пример 2
Представить в виде обыкновенной дроби число 0,(6)
Решение:
0,(6)=0,6+0,06+0,006…..
Пример 3
представить в виде обыкновенной дроби бесконечно десятичную периодическую дробь
0,(23)
Решение:
Домашнее задание
Пример 1
Вычислите предел:
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Найдите сумму геометрической прогрессии 32, 16, 8, 4, 2….
Пример 7
Найдите знаменатель и сумму геометрической прогрессии bn если
S=2, b1=1
Список литературы:
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
- Сайт
- Сайт
