Приближенные вычисления
Приближенные вычисления можно рассматривать как одно из применений производной, а конкретно касательной данной функции. С приближениями мы встречаемся довольно часто, например,
если нужно какие-то значения числа 
, то пишем
и т.д.
Рассмотрим общий прием получения с хорошей точностью приближенных значений.
Предположим, что задана функция 
и эта функция имеет сложный график.
Достаточно задать точку 
, для того чтобы получить касательную.
Проведем в точке
касательную. Запишем уравнение этой касательной:
В окрестности точки график касательной и график данной функции почти не отличаются (см. рис.1). Предположим, что приращение аргумента 
невелико. Имеем 
- точное значение функции в точке 
. Приближенное значение 
дает касательная, и если невелико, то
, то есть значение функции в новой точке мало отличается от значения линейной функции (касательной).
Рис. 1. График функции и касательная.
Итак, идея простая и ясная: в хорошей точки ( хорошая означает то, что в этой точке легко вычислить значение функции) легко вычислить значение 
. Если в точке легко вычислить значение ,
то в новой точке заменим значение на значение 
, то есть кривую заменим касательной. Получим примерный результат. Этот результат будет тем точнее, чем меньше будет приращение .
Например, вычислить приближенно величину
(решение ниже).
Вычислить приближенно
Сделаем иллюстрацию (см. рис.2).
Рис. 2. График функции
Заменим значение функции в точке 
значением касательной 
.
Таким образом, приближенные вычисления основываются на уравнении касательной. Методику применения мы рассмотрели на конкретном примере.
Вывод формулы для приближенных вычислений
Рассмотрим формулы для приближенных вычислений для функции
в окрестности точки 
, то есть в точке 
(см. рис.3).
Рис. 3. Окрестность точки .
Значение функции в точке равно
Доказать, что
Доказательство.
Заменим функцию касательной.
Если заменим значение функции значением касательной, то получим
Получили формулу, которая позволяет примерно, с достаточной степенью точности, вычислять нужные значения.
Применим эту формулу для решения примера, который был дан вначале: найти приближенное значение
Рис. 4. Приращение аргумента.
Вычислим приращение
Если особая точность не нужна, то такое примерное вычисление довольно эффективно.
Примеры для самостоятельного решения
1. Вычислить приближенное значение функции
2. Найти приближенное значение
Домашнее задание
1. Вычислить приближенное значение функции
