Приближенные вычисления
Приближенные вычисления можно рассматривать как одно из применений производной, а конкретно касательной данной функции. С приближениями мы встречаемся довольно часто, например,
если нужно какие-то значения числа 
, то пишем
и т.д.
Рассмотрим общий прием получения с хорошей точностью приближенных значений.
Предположим, что задана функция 
и эта функция имеет сложный график.
Достаточно задать точку 
, для того чтобы получить касательную.
Проведем в точке
касательную. Запишем уравнение этой касательной:
В окрестности точки график касательной и график данной функции почти не отличаются (см. рис.1). Предположим, что приращение аргумента 
невелико. Имеем 
- точное значение функции в точке 
. Приближенное значение 
дает касательная, и если невелико, то
, то есть значение функции в новой точке мало отличается от значения линейной функции (касательной).
Рис. 1. График функции и касательная.
Итак, идея простая и ясная: в хорошей точки ( хорошая означает то, что в этой точке легко вычислить значение функции) легко вычислить значение 
. Если в точке легко вычислить значение ,
то в новой точке заменим значение на значение 
, то есть кривую заменим касательной. Получим примерный результат. Этот результат будет тем точнее, чем меньше будет приращение .
Например, вычислить приближенно величину
(решение ниже).
Вычислить приближенно
Сделаем иллюстрацию (см. рис.2).
Рис. 2. График функции
Заменим значение функции в точке 
значением касательной 
.
Таким образом, приближенные вычисления основываются на уравнении касательной. Методику применения мы рассмотрели на конкретном примере.
Вывод формулы для приближенных вычислений
Рассмотрим формулы для приближенных вычислений для функции
в окрестности точки 
, то есть в точке 
(см. рис.3).
Рис. 3. Окрестность точки .
Значение функции в точке равно
Доказать, что
Доказательство.
Заменим функцию касательной.
Если заменим значение функции значением касательной, то получим
Получили формулу, которая позволяет примерно, с достаточной степенью точности, вычислять нужные значения.
Применим эту формулу для решения примера, который был дан вначале: найти приближенное значение
Рис. 4. Приращение аргумента.
Вычислим приращение
Если особая точность не нужна, то такое примерное вычисление довольно эффективно.
Примеры для самостоятельного решения
1. Вычислить приближенное значение функции
Решение:
Ответ: 14,5
2. Найти приближенное значение
Решение
Домашнее задание
1. Вычислить приближенное значение функции
Решение:
Ответ: 20,544
