Начнем с самого простого – с линейной функции.
Пусть 
, где 
и 
– некоторые числа, а 
– переменная.
Тогда:
Итак, выясняется, что 
для любого 
. Значит, можно утверждать,
что 
.
О чем это говорит?
Во-первых, мы подтвердили несколько фактов про линейную функцию, которые нам, возможно, уже были известны.
1. Так, исходя из геометрического смысла производной, тангенс угла наклона прямой совпадает с ее угловым коэффициентом (он равен производной в соответствующей точке).
Кроме этого, мы видим, что раз производная постоянна, то угол наклона постоянен, это вполне соответствует нашим представлениям о прямой.
2. Если предположить, что материальная точка движется прямолинейно равномерно, то ее координата в данный момент времени описывается функцией:
где – начальная координата, а 
– скорость. Рассмотрим это утверждение.
Предположим, что есть некоторая материальная точка, которая двигается по закону
Найти его производную.
Решение:
Для удобства предположим, что точка движется равномерно, то есть в каждой точке одинаково. Тогда с точки зрения физического смысла мы получим:
Следствия производной линейной функции
Во-первых, 
. Это следует из наших выкладок просто в силу того,
что мы подставили 
, 
.
Далее, 
. Итак, производная от константы равна нулю.
Дальше рассмотрим производную функции
В силу того что – произвольна, имеем:
Где это может нам пригодиться? В дальнейшем с помощью производных мы будем исследовать свойства функций, говорить об их монотонности и т. д. Пока же мы можем говорить лишь о физическом и геометрическом смыслах. Разберем по примеру на каждый из них.
Примеры
Пример 1
Тело движется по закону 
( 
– в секундах, – в метрах). Какой будет скорость тела через 3 секунды после начала движения? Через какое время после начала движения скорость тела будет равна 
?
Дано:
Найти:
Решение:
Прежде всего вспомним, что
Отсюда мы можем вывести, что скорость через три секунды, то есть при 
, будет
равна 
.
А скорость будет равна через 5 секунд (
).
Ответ: , 
.
Примеры для самостоятельного решения
Пример 1
Теперь рассмотрим кубическую функцию 
.
Пример 2
В какой точке графика 
его касательная параллельна прямой 
?
Дано:
, (см. рис. 2).
Домашнее задание
Пример 1
В качестве небольшого упражнения попробуйте сами вывести производную функции
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Вычислить производную функции
в точке
