Начнем с самого простого – с линейной функции.
Пусть 
, где 
и 
– некоторые числа, а 
– переменная.
Тогда:
Итак, выясняется, что 
для любого 
. Значит, можно утверждать,
что 
.
О чем это говорит?
Во-первых, мы подтвердили несколько фактов про линейную функцию, которые нам, возможно, уже были известны.
1. Так, исходя из геометрического смысла производной, тангенс угла наклона прямой совпадает с ее угловым коэффициентом (он равен производной в соответствующей точке).
Кроме этого, мы видим, что раз производная постоянна, то угол наклона постоянен, это вполне соответствует нашим представлениям о прямой.
2. Если предположить, что материальная точка движется прямолинейно равномерно, то ее координата в данный момент времени описывается функцией:
где – начальная координата, а 
– скорость. Рассмотрим это утверждение.
Предположим, что есть некоторая материальная точка, которая двигается по закону
Найти его производную.
Решение:
Для удобства предположим, что точка движется равномерно, то есть в каждой точке одинаково. Тогда с точки зрения физического смысла мы получим:
Следствия производной линейной функции
Во-первых, 
. Это следует из наших выкладок просто в силу того,
что мы подставили 
, 
.
Далее, 
. Итак, производная от константы равна нулю.
Дальше рассмотрим производную функции
В силу того что – произвольна, имеем:
Где это может нам пригодиться? В дальнейшем с помощью производных мы будем исследовать свойства функций, говорить об их монотонности и т. д. Пока же мы можем говорить лишь о физическом и геометрическом смыслах. Разберем по примеру на каждый из них.
Примеры
Пример 1
Тело движется по закону 
( 
– в секундах, – в метрах). Какой будет скорость тела через 3 секунды после начала движения? Через какое время после начала движения скорость тела будет равна 
?
Дано:
Найти:
Решение:
Прежде всего вспомним, что
Отсюда мы можем вывести, что скорость через три секунды, то есть при 
, будет
равна 
.
А скорость будет равна через 5 секунд (
).
Ответ: , 
.
Примеры для самостоятельного решения
Пример 1
Теперь рассмотрим кубическую функцию 
.
В силу того, что произволен, имеем:
Пример 2
В какой точке графика 
его касательная параллельна прямой 
?
Дано:
, (см. рис. 2).
Решение:
Раз прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть угловой коэффициент касательной (он же тангенс угла наклона) должен быть равен 1. Но мы помним, что тангенс угла наклона касательной как раз равен производной в точке касания (в абсциссе точки касания)
Домашнее задание
Пример 1
В качестве небольшого упражнения попробуйте сами вывести производную функции
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Вычислить производную функции
в точке
Список источников
- Сайт
- Сайт
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
