Тригонометрические функции имеют важную особенность – наличие периода. Всю методику, которую знаем для исследования функций без тригонометрических включений, используем, но надо учесть наличие периода.
Наличие периода дает возможность провести исследование функции и построение графика на отрезке длиной, равной периоду. Затем график функции периодически распространяется для всех значений аргумента из области определения функции.
Исследование функции без использования производной
Пример 1.
Построить график функции
Преобразуем формулу:
Найдем период данной функции. У функции
наименьший период 
. У функции
если понизить степень и выразить через 
- период 
. Итак,функция
имеет наименьший период . Это означает, что график функции сначала можно построить на промежутке длиной 2п, а потом продолжить по периодичности.
Функция четная, так как
для всех х из 
. График симметричный относительно оси 
.
Учитывая периодичность функции, можно построить график этой функции на любом промежутке, длиной . Свойство четности функции дает возможность задачу упростить, а именно,
построить график на участке 
, а на участке 
- построить по симметрии.
Найдем интервалы знакопостоянства функции.
когда
Знак функции на каждом интервале удобно определить с помощью единичной окружности (см. рис.1). Точки
- точки, которые формируют интервалы знакопостоянства функции.
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции
на единичной окружности
Выясним знак функции на интервале 
. Для этого возьмем значение функции в какой-нибудь точке из этого интервала. Например,
значит, на этом интервале функция отрицательна. Дальше, на интервале 
функция меняет знак. В силу симметрии, на интервале 
- функция отрицательна, а на интервале 
- функция положительна (см. рис.2).
Рис. 2 Интервалы знакопостоянства функции
Построим график функции в окрестности каждого корня.
Точка 
- является точкой максимума, так как на промежутках и - функция отрицательна, кривая находится под осью 
, и только в точке она равна нулю. Значит, функция в окрестности корней ведет себя следующим образом (см. рис.3):
Рис. 3. График функции в окрестности каждого корня
Примеры для самостоятельного решения
Пример 1
Понятно, что на интервалах и – функция будет иметь точки экстремума.
Исследуем функцию с помощью производной:
Приравняем ее к нулю:
Найдем критические точки:
- это все критические точки, которые имеет функция. Но нам нужны те, которые попадают в выбранный промежуток:
Вычислим значение функции в точках 
, и определим – это точки максимума или минимума.
Найдем интервалы знакопостоянства производной на единичной окружности (см. рис.4).
Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной
Найдем знак производной, в какой- либо точке из интервала 
:
Таким образом, точка 
- точка минимума, а 
- точка максимума. Вычислим:
Построим график функции
Рис. 5. График функции
Рис. 6. График функции
Одна из типовых задач – нахождение множества значений функции.
Ответ:
Пример 2
Найти производную:
y=cos2x−2sinx
Решение.
Используя линейные свойства производной, правило дифференцирования сложной функции и формулу двойного угла, получаем:
Домашнее задание
1. Найти производную:
y=1cosnx
Решение.
Найдем производную данной функции, используя правила дифференцирования степенной функции и сложной функции:
2. y=cos2sinx
Решение.
Применяя правила дифференцирования степенной функции и сложной функции, получаем:
Последнее выражение можно упростить по формуле двойного угла:
Следовательно, производная равна
