Введение
Вспоминаем свойства степенной, показательной и логарифмической функций.
Свойства степеней действительных чисел:
Степенные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства
Пример 1.
Решить уравнение:
Решение:
Преобразуем данное уравнение:
Ответ:
Пример 2.
Решить уравнение:
Решение:
Преобразуем данное уравнение, используя свойства степеней:
Введем новую переменную:
Корень 
, не удовлетворяет условию 
, поэтому единственное решение исходного уравнения определяется из соотношения:
Ответ:
Пример 3.
Решить уравнение:
Решение:
Числа
являются взаимно обратными
Введем новую переменную
Тогда исходное уравнение запишется в виде:
откуда находим значение переменной
Ответ:
Показательные неравенства
При решении показательных неравенств надо учитывать,
что показательная функция 
возрастает при 
и убывает при
Неравенство:
равносильно неравенству:
Неравенство:
равносильно неравенству:
Пример 4.
Решить неравенство:
Решение:
Исходное неравенство равносильно неравенству:
Ответ:
Пример 5.
Решить неравенство:
Решение:
Основание степени меньше единицы, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству:
Ответ:
Пример 6.
Решить неравенство:
Решение:
Введем новую переменную:
Исходное уравнение примет вид:
Решением полученного неравенства является множество:
С учетом условия получаем . Следовательно, 
откуда 
.
Ответ:
Логарифмические уравнения
Логарифмом числа 
по основанию 
, где 
,
называется показатель степени 
, в которую надо возвести , чтобы получить 
.
Основное логарифмическое тождество:
Основные свойства логарифмов:
Пример 7.
Решить уравнение:
Решение:
Воспользовавшись формулой логарифма степени, перепишем исходное уравнение в виде:
Но значение 
, так же удовлетворяет исходному уравнению. Потеря корня , произошла при неравносильном переходе от логарифма степени к удвоенному логарифму.
Ответ:
Пример 8.
Решить уравнение:
Решение:
В соответствии с определением логарифма получаем:
Ответ:
Пример 9.
Решить уравнение:
Решение:
Согласно основному логарифмическому тождеству,
Заметим, что
по основному логарифмическому тождеству, правая часть исходного уравнения равна 30. Поэтому исходное уравнение равносильно системе:
Решив эту систему, получаем 
.
Ответ:
.
Пример 10.
Решить уравнение:
Решение:
Уравнение такого вида содержащие неизвестную величину, как в основании, так и в показателе степени, можно решать, логарифмируя левую и правую части по некоторому основанию. В данной задаче целесообразно прологарифмировать обе части по основанию 10, поскольку в условии уже имеется десятичный логарифм.
Получаем:
Введем новую переменную 
. Тогда полученное уравнение запишется в виде
Решив последнее уравнение, находим:
Ответ:
Логарифмические неравенства
Неравенство:
при равносильно системе неравенств:
а при 0 < < 1 – системе неравенств:
Приведенные выше логарифмические неравенства обобщаются на логарифмические неравенства с переменным основанием.
Неравенство:
Равносильно совокупности двух систем неравенств:
Пример 11.
Решить неравенство:
Решение:
Представим правую часть в виде:
Основание логарифма меньше единицы, значит, при потенцировании знак неравенства следует изменить. Получаем неравенство:
Необходимо записать условие, при котором оно существует, получаем систему:
Решив систему, находим
Ответ:
Пример 12.
Решить неравенство:
Решение:
Произведем преобразования:
Введем новую переменную
Исходное неравенство запишем в виде:
Неравенство 
можно решать, перейдя к совокупности систем:
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
Ответ:
Пример 13.
Решить неравенство:
Решение:
Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Получаем:
Ответ:
