Теория
рис. 1
Рассмотрим рис. 1
Зафиксируем точку 
. Если , то значение функции равно 
. Значит,
имеем точку с координатами (
).
Задача:
Составить уравнение касательной. Более строгая формулировка – написать уравнение касательной к функции 
в точке с абсциссой , в которой 
- существует.
Уравнение касательной – это прямая, которая задается формулой:
Любая прямая, в том числе и касательная, определяется двумя числами:
и 
. Исходя из геометрического смысла производной 
(тангенс угла наклона касательной) – это есть угловой коэффициент:
Параметр найдем из условия, что касательная проходит через точку (), то есть 
.
Стало быть
Запишем уравнение касательной
Получили уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой 
.
Смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.
1) () – точка касания касательной и графика функции.
2) - угловой коэффициент касательной к графику функции.
3) 
– произвольная точка на касательной.
Примеры
Пример 1.
К кривой
в точке с абсциссой
провести касательную.
Пример 2
Пусть дано уравнение касательной
Найдите точки пересечения касательной с осями координат.
Пример 3
Найти длину отрезка касательной, которая отсекается осями координат, то есть надо найти длину отрезка 
.
Пример 4
Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.
Примеры для самостоятельного решения
Пример 1
Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = 2sin x + 5 в точке x0 = π/2.
Пример 2
Нужно написать уравнение прямой-касательной к
y(x) = x^3 - 2x^2 + 3 в точке x0 = 2.
Пример 3
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Пример 4
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Пример 5
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Пример 6
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Пример 7
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Домашнее задание
Пример 1
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Пример 2
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Пример 3
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
в точке M (1, 1).
