Теория
рис. 1
Рассмотрим рис. 1
Зафиксируем точку 
. Если , то значение функции равно 
. Значит,
имеем точку с координатами (
).
Задача:
Составить уравнение касательной. Более строгая формулировка – написать уравнение касательной к функции 
в точке с абсциссой , в которой 
- существует.
Уравнение касательной – это прямая, которая задается формулой:
Любая прямая, в том числе и касательная, определяется двумя числами:
и 
. Исходя из геометрического смысла производной 
(тангенс угла наклона касательной) – это есть угловой коэффициент:
Параметр найдем из условия, что касательная проходит через точку (), то есть 
.
Стало быть
Запишем уравнение касательной
Получили уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой 
.
Смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.
1) () – точка касания касательной и графика функции.
2) - угловой коэффициент касательной к графику функции.
3) 
– произвольная точка на касательной.
Примеры
Пример 1.
К кривой
в точке с абсциссой
провести касательную.
Решение:
Делаем рисунок
Зафиксируем точку . Значение функции в этой точке равно 1.
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции:
1) Найти 
и точку касания.
- дано. Точка касания: 
.
2) Найти производную в любой точке 
.
3) Найти значение производной в точке с абсциссой .
4) Выписать и проанализировать уравнение касательной.
Упрощаем и получаем:
Ответ:
Пример 2
Пусть дано уравнение касательной
Найдите точки пересечения касательной с осями координат.
Решение:
Делаем рисунок.
Итак, первая точка – это точка 
с координатами 
.
Вторая точка – точка пересечения с осью , точка 
с координатами 
.
Пример 3
Найти длину отрезка касательной, которая отсекается осями координат, то есть надо найти длину отрезка 
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
.
Длина катета 
равна 1. Длина катета
Длину отрезка из прямоугольного треугольника найдем по теореме Пифагора:
Пример 4
Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.
Решение:
Ясно, что это площадь треугольника - площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.
Следующая задача для самостоятельного решения.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник . Радиус окружности, описанной около треугольника .
Примеры для самостоятельного решения
Пример 1
Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = 2sin x + 5 в точке x0 = π/2.
Решение:
Уравнение касательной:
В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.
Пример 2
Нужно написать уравнение прямой-касательной к
y(x) = x^3 - 2x^2 + 3 в точке x0 = 2.
Решение:
Следует воспользоваться следующим алгоритмом:
Значение в х0 = 1:
y(2) = 2 
2^2 - 3 2 + 1 = 3.
Производная в заданной точке:
y
(2) = 4x - 3 = 5.
Подстановка:
y = y(2) + y(2) (x - x0) = 3 + 5(x - 2) = 3 + 5x - 10 = 5x - 7.
Пример 3
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Решение:
Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем:
В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:
Пример 4
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Решение:
Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):
Составляем уравнение нормали:
Пример 5
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Решение:
Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
Находим уравнение касательной:
Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Пример 6
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Решение:
Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
Находим уравнение касательной:
Уравнение нормали:
Пример 7
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Решение:
Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Домашнее задание
Пример 1
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Пример 2
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
если абсцисса точки касания
Пример 3
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
в точке M (1, 1).
Список литературы
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
- Сайт
