2. Конспект для ученика по теме «Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной»

Определение производной

Пусть функция y=f(x) определена в точках x₀ и x₁. Разность x₁−x₀ называют приращением аргумента (при переходе от точки x₀ к точке x₁), а разность f(x₁) - f(x₀) называют приращением функции.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита "дельта"; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

Итак, x₁-x₀=Δx, значит, x₁=x₀+Δx.

f(x₁)-f(x₀)=Δy, значит, 

Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀). (1)

Нельзя истолковывать термин "приращение" как "прирост".

Алгоритм нахождения производной функции

1. Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]:
2. Разделить приращение функции на приращение аргумента:
3. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если s(t)  — закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t:

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x=a можно провести касательную, не параллельную оси y, то выражает угловой коэффициент касательной:

Поскольку k=tgα, то верно равенство = tgα.

Примеры

Пример 1

Найдем приращение Δx и Δf в точке x_0, если f(x)= x², x₀=2 и х=1,9

Решение:

Δx= x₁−x₀=1,9-2=-0,1

Δf= f(1,9) – f(2)=1,9²-2²=-0,39

Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39

Пример 2

Найдем приращение Δf функции

в точке x₀, если приращение аргумента равно x₀.

Решение:

по формуле находим:

Ответ: 

Пример 3

Решение:

Пример 4

Вычислить производную функции

y=x²

Решение:

Используем схему вычисления производной по действиям:

Примеры для самостоятельного решения

Пример 1

Найти производную функции:

y=3x

Пример 2

Найти производную функции

y=5x²

Пример 3

Найти производную функции

y=2x²-x+1
 

Домашнее задание

Пример 1

Найти приращение Δx и Δf в точке x_0, если:

Пример 2

Пример 3

Пример 4

• «Вконтакте»: vk.com/myetginpro
• «Одноклассники»: ok.ru/etginpro
• «YouTube»: youtube.com/channel/UC5Sv[...]