1. Конспект для учителя по теме «Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной»

438

Здравствуйте! Сегодня поговорим о производной: узнаем зачем она нужна и как её находить.

Содержание

Определение производной

Пусть функция y=f(x) определена в точках x₀ и x₁. Разность x₁−x₀ называют приращением аргумента (при переходе от точки x₀ к точке x₁), а разность f(x₁) - f(x₀) называют приращением функции.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита "дельта"; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

Итак, x₁-x₀=Δx, значит, x₁=x₀+Δx.

f(x₁)-f(x₀)=Δy, значит,

Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀). (1)

Нельзя истолковывать термин "приращение" как "прирост".

Алгоритм нахождения производной функции

Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]:
Разделить приращение функции на приращение аргумента:
Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если s(t) — закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t:

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x=a можно провести касательную, не параллельную оси y, то выражает угловой коэффициент касательной:

Поскольку k=tgα, то верно равенство = tgα.

Примеры

Пример 1

Найдем приращение Δx и Δf в точке x_0,если f(x)= x², x₀=2 и х=1,9

Решение:

Δx= x₁−x₀=1,9-2=-0,1

Δf= f(1,9) – f(2)=1,9²-2²=-0,39

Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39

Пример 2

Найдем приращение Δf функции

в точке x₀, если приращение аргумента равно x₀.

Решение:

по формуле находим:

Ответ:

Пример 3

Решение:

Пример 4

Вычислить производную функции

y=x²

Решение:

Используем схему вычисления производной по действиям:

Примеры для самостоятельного решения

Пример 1

Найти производную функции:

y=3x

Решение:

Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.

1) Для фиксированного значения x, значение функции y=3x

2) В точке x+Δx, y=f(x+Δx)=3(x+Δx)=3x+3 Δx

3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+Δx)-f(x)=3x+3Δx-3x=3Δx

4) Составим соотношение:

5) Найдем предел:

Пример 2

Найти производную функции

y=5x²

Решение:

Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.

1) Для фиксированного значения x, значение функции y=5x²

2) В точке x+Δx, y=f(x+Δx)=5(x+Δx)²=5(x²+2xΔx+Δx²)

3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 5x²+10xΔx+5Δx²-5x²=10xΔx+5Δx²

4) Составим соотношение:

5) Найдем предел:

Пример 3

Найти производную функции

y=2x²-x+1

Решение:

Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.

1) Для фиксированного значения x, значение функции: y=2x²-x+1

2) В точке x+Δx, y=f (x+Δx)=2(x+Δx)²-(x+ Δx)+1= =2(x²+2xΔx+Δx²)-(x+ Δx)+1

3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= = 2x²+4xΔx+ 5Δx²-(x+ Δx)+1-2x²+x-1= =4xΔx+5Δx²-Δx