Проверка домашнего задания.
Переход к основной теме:
Сложные логарифмические неравенства
Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе:
Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.
Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить — см. «».
Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно:
Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства — и ответ готов.
Преобразование логарифмических неравенств
Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами — см. «». А именно:
- Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием;
- Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом.
Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая:
- Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство;
- Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов;
- Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.
Теперь преобразуйте второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка:
