Проверка домашнего задания.
Переход к основной теме:
Сложные логарифмические неравенства
Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе:
Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.
Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить — см. «».
Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно:
Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства — и ответ готов.
Для начала выпишем ОДЗ логарифма:
Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем:
Получается, что ОДЗ логарифма — все числа, кроме нуля: 
Теперь решаем основное неравенство:
Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше». Имеем:
Нули этого выражения: x = 3; x = −3; x = 0. Причем x = 0 — корень второй кратности, значит при переходе через него знак функции не меняется. Имеем:
Получаем 
. Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ.
Преобразование логарифмических неравенств
Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами — см. «». А именно:
- Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием;
- Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом.
Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая:
- Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство;
- Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов;
- Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.
Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма:
Решаем методом интервалов. Находим нули числителя:
Затем — нули знаменателя:
Отмечаем нули и знаки на координатной стреле:
Получаем 
У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите — можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка:
Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их:
Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:
Получили два множества:
Осталось пересечь эти множества — получим настоящий ответ:
Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем 
— все точки выколоты.
