Задание 1
На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.
а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.
Решение.
а) Возьмём на диагонали AC параллелограмма ABCD точку O (не посередине) и проведём через неё перпендикуляры NL и KM к сторонам параллелограмма (см. рис.). Прямоугольные треугольники CKO и AMO подобны.
Точно так же подобны треугольники CNO и ALO:
В этом случае OC = OA, то есть O – середина AC. Противоречие. Значит, KLMN — трапеция.
б) Обозначим площадь параллелограмма S, а его острый угол – α. Угол между диагоналями NL и KM трапеции KLMN равен углу между перпендикулярными диагоналям прямыми BC и CD, то есть этот угол равен α.
Поэтому площадь трапеции равна:
Подставляя α = 60° и S = 16, получаем, что площадь трапеции равна
Ответ: 6.
Задание 2
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD.
а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если 
Решение.
Отрезок KL является средней линией треугольника ABC, поэтому 
Аналогично 
Тогда, имеем:
Где S — искомая площадь четырёхугольника ABCD. Аналогично 
Поэтому
Следовательно,
Ответ: 
Задание 3
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
Решение.
Для треугольника ABC справедливо равенство 
Учитывая, что ∠KHB = ∠BAC, получаем:
Стороны BC и BK — сходственные в подобных треугольниках ABC и MBK, следовательно, их коэффициент подобия
Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:
Ответ: 
- «Решу ЕГЭ» - образовательный портал,
- Математика. Репетитор. Ларин Александр Александрович,
- Подготовка к ЕГЭ по математике «Школково»,
- Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ,
- Полезные сайты и приложения для подготовки к ЕГЭ,
- Учебник по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике YouClever,
- Видеоуроки Валерия Волкова,
